Proposiciones Adjetivas
Oración compuesta o Cláusula: Es el conjunto expresivo que lleva una oración simple, llamada principal, y una o más proposiciones de cualquier tipo que a continuación describo.
Proposición Adjetiva: Equivale a un adjetivo. Cumple sus mismas funciones. Nada más que en lugar de ser una sola palabra constituyen una oración subordinada. Hay proposiciones adjetivas de sujeto y en el complemento indirecto. Cabe mencionar que el subordinante "Que" es el más empleado en las proposiciones adjetivas.
Proposición Adjetiva de sujeto: Modifican directamente al núcleo del sujeto. Fíjate en las siguientes oraciones:
1. El marido que respeta a su mujer cumple con su deber.
2. El cuadro que adquirieron ayer no vale lo que pagaron.
3. Ese club, al cual se adhirieron ayer, cumple bien sus funciones.
4. El periódico cuyo director renunció, subirá de prestigio.
5. La silla donde te sentaste está rota.
Está muy clara la función desempeñada por las proposiciones resaltadas: modifican al sustantivo, núcleo del sujeto, que es su antecedente.
Prop. Adjetiva en el complemento directo: Modifican directamente al núcleo del complemento directo (El complemento directo es el nombre del objeto que se ve afectado por la acción del verbo). Nota que inmediatamente después del sustantivo viene la proposición que se convierte en el complemento directo.
1. Te escribí una carta en la que te informaba cobre el nuevo carro.
2. Deberías apreciar el regalo que te hizo Bertha.
3. Algún día visitarás la casa que tengo en Cancún.
4. Todavía estoy esperando la cena que me prometiste.
5. Me sacaron la muela que me dolía mucho.
Prop. Adjetiva en el complemento indirecto: Modifican directamente al núcleo del complemento indirecto (El complemento indirecto siempre va precedido de las preposiciones a y para). Analiza las siguientes oraciones compuestas:
1. Regalé ropa y cobijas a la Cruz Roja, que necesita de todos nosotros.
2. Escogieron una bellísima canastilla para la joven que va a cumplir quince años.
3. Los distintos clubes sociales de la ciudad dieron su aportación para los niños que sufren poliomielitis.
4. Trajeron la tarjeta de crédito para el señor que vive al lado.
5. Llegó un telegrama para el hombre cuyo padre vive en Europa.
Las proposiciones están modificando al sustantivo que es núcleo del complemento indirecto.
Prop. Adjetivas en el complemento circunstancial: Modifican directamente al núcleo del complemento circunstancial.
1. Juan está en la casa donde encontraron oro.
2. Te espero en el café que está en la calle Morelos.
3. Me invitaron a Acapulco, cuyas playas son formidables.
4. Me quedo con la carretilla que tiene más fondo.
5. No voy al cine que exhibe películas de guerra.
Proposiciones adjetivas en el predicado nominal: Modifican al núcleo del predicado nominal, cuando es un sustantivo o equivalente. Como en las siguientes oraciones:
1. Hortensia es la persona a quien he estado buscando.
2. Los niños son los seres que tienen mayor inocencia.
3. El amor es el activante que nos hace mejores.
4. Apreciar esta pintura es la forma como se concilia uno con el mundo.
5. Estos son los poemas cuyos autores no los hubieran escrito sin sentirse realmente desolados en el universo.
En estos casos las proposiciones adjetivas están modificando directamente a los sustantivos que están funcionando como núcleos del predicado nominal: 1, persona; 2, seres; 3, activante; 4, forma; 5, poemas. Los subordinantes son respectivamente: quien, que, como, cuyos.
Proposiciones adjetivas explicativas: Añaden una cualidad al sustantivo que están modificando directamente, van entre comas. De hecho las comas son la principal forma de diferenciarlas de las especificativas. La proposición en si No es indispensable para dar sentido cabal a la oración.
1. Socorrimos a la madre, que estaba gritando.
2. Escoge la corbata roja, que es la más fina de todas.
3. Los niños, que iniciaron el juego, llegaron primero.
Proposiciones adjetivas especificativas: Limitan al sustantivo al cual están determinando; restringen el sentido de lo enunciado. La proposición en si es indispensable para dar sentido cabal a la oración. Ejemplos:
1. Los niños que iniciaron el juego llegaron primero.
2. Adquirimos los libros que estaban en oferta.
3. La alberca que estaba recién pintada fue inaugurada.
1.2.1 CONJUNCIÒN, NEGACIÒN
Negación: Representa no o cualquiera que incluyan la idea de negación. Ejemplo:
“La luna no tiene satélites" ¬p
Conjunción: Representa y o cualquier otra que indique la idea de unió. Ejemplo:
"Júpiter tiene satélites" p Ù q.
1.2.2 DISYUNCIÒN CONDICIONAL Y BICONDICIONAL
Disyunción:Representa o. Es preciso que esta tiene dos sentidos: un inclusivo y otro exclusivo. En sentido inclusivo equivale a y/o, o sea, que incluye la verdad de los dos enunciados de la disyunción o bien sólo la de uno de los dos. Ejemplo:
"Se aprende lógica escuchando a clase o estudiando" p Ú q.
Condicional: Representa las partículas lingüísticas si- entonces o cualquiera otros que indiquen la idea de condición. Ejemplo:
"Si llueve, entonces la tierra se moja" p ® q.
Bicondicional:Representa las partículas lingüísticas si y sólo si o cualquier otra que indique doble condición. Ejemplo
"Es de noche si y sólo si se ha metido el sol" p « q.
1.3 TÈRMINOS DE ENLACE
Los términos de enlace, "y", "o", "si... entonces...", "si y sólo si"; se usan para ligar dos proposiciones, en cambio el término de enlace "no" se agrega a una sola proposición.
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^ CONJUNCIÓN
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Ú DISYUNCIÓN
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¬ NEGACIÓN
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→ CONDICIONAL
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↔ BICONDICIONAL
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1.3.1 ELEMENTOS PARA DETERMINAR EL TÈRMINO DE ENLACE DOMINANTE
Es un preposición molecular en la cual intervienen mas de un termino de enlace aquel que afecta o actúa sobre toda un proposición recibe el nombre de termino dominante el cual determina la forma de la proposición entendiéndose por forma el tipo de proposición que se trata.
(Conjunción),(Disyunción),(Condicional),(Bicondicional)(Negación)(Bicondicional)
ELEMENTOS QUE DETERIMNA EL TERMINO DE ENLCE DOMINANTE.
Uso de Comas.
Uso de Paréntesis.
Uso de formas completas de los términos de enlace.
Uso de las Reglas de potencia de los términos de Enlace.
1.4 FÒRMULAS LÒGICAS
1.4.1 VALORES DE CERTEZA
1.4.2 TABLAS DE VERDAD DE LAS PROPOSICIONES MOLECULARES BÀSICAS
Negación (¬)
Consiste en cambiar el valor de verdad de una variable proposicional.
Disyunción
La proposición molecular será verdadera cuando una o ambas variables proposicionales sean verdaderas.(Columna 2 de la tabla de funciones posibles)
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p
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q
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p / q
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V
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V
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V
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V
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F
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V
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F
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V
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V
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F
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F
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F
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Conjunción
Es una conectiva que puede definirse como la composición:
p ∧ q = ¬(¬p ∨ ¬q)
La proposición molecular será verdadera sólo cuando ambas variables proposicionales sean verdaderas.(Columna 8 de la tabla de funciones posibles)
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p
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q
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p / q
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V
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V
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V
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V
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F
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F
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F
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V
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F
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F
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F
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F
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Condicional (→)
Es una conectiva definida por:
p → q = ¬p ∨ q
La proposición molecular será verdadera cuando se cumpla si es verdadero p entonces lo es q. (Columna 5 de la tabla de funciones posibles)
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p
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q
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p → q
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V
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V
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V
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V
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F
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F
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F
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V
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V
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F
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F
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V
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Bicondicional (↔, si y sólo si)
Es una conectiva definida por:
p ↔ q = ((p → q) (q → p))
La proposición molecular será verdadera cuando ambas variables proposicionales tengan a la vez el mismo valor de verdad. (Columna 7 de la tabla de funciones posibles)
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p
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q
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p ↔ q
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V
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V
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V
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V
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F
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F
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F
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V
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F
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F
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F
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V
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Disyunción exclusiva
Es una conectiva definida por:
p q = ¬(p ↔ q)
La proposición molecular será verdadera sólo cuando una de las dos variables proposicionales sea verdadera, pero no las dos. (Columna 10 de la tabla de posibles valores)
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p
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q
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p q
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V
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V
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F
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V
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F
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V
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F
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V
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V
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F
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F
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F
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1.4.3 TAUTOLOGIAS
Siguiendo la mecánica algorítmica de la tabla anterior construiremos su tabla de verdad:
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A
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B
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C
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A→B
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B→C
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(A→B)/(B→C)
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(A→C)
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V
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V
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V
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V
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V
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V
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V
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V
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V
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F
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F
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F
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F
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F
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V
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V
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F
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F
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F
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F
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F
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V
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V
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V
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V
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F
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V
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F
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V
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V
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V
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V
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F
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F
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F
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V
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V
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V
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V
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1.4.4 CONTRADICCIONES
Aplicamos la definición de conjunto a los valores de A y B. Después aplicamos la definición de disyuntor a los valores de A y B. Aplicamos en la columna siguiente el negador a los valores de la columna anterior. Aplicamos el conjuntor a los valores de la columna (A/B) con los de la columna ¬(A/B). Por último aplicamos el conjunto a los valores de la columna de C con la columna última cuyo resultado nos da los valores de [(A/B)/¬(A/B)]/C
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A
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B
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C
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A/B
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A/B
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¬(A/B)
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(A/B)/¬(A/B)
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V
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V
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V
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V
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V
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F
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F
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F
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F
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F
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F
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V
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F
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1.5 DIAGRAMAS LINEALES
1.5.1 REGLAS DE INFERENCIA
Estas relaciones sintácticas son usadas en el proceso de inferencia, por el que se llega a nuevas aserciones verdaderas a partir de otras ya conocidas. Las reglas también se aplican a la lógica informal y a las discusiones, pero la formulación es mucho más difícil y polémica.
Como se mencionó, la aplicación de una regla de inferencia es un procedimiento puramente sintáctico. Sin embargo, debe también ser el válido, o mejor dicho, preservar la validez. Para que el requisito de preservación de la validez tenga sentido, es necesaria una cierta forma semántica para las aserciones de las reglas de inferencia y las reglas de inferencia en sí mismas.
Reglas de Inferencia Deductiva
MPP Modus ponendo ponens
A → B
A
- - - - -
B
MTTModus tollendo tollens
A → B
¬B
- - - - -
¬A
SD Silogismo Disyuntivo
A ∨ B
¬A
- - - - -
¬B
SH Silogismo hipotético
A → B
B → C
- - - - -
A → C
LS Ley de simplificación
A ∧ B
- - - - -
A
LA Ley de adición
A
- - - - -
A ∨ B
CONTRAPOSITIVA
A → B
- - - - -
¬B → ¬A
La comprobación de las reglas anteriores es directa y basta hacer una fórmula con la conjunción de las premisas condicional la conclusión y probar que es una tautología, por ejemplo haciendo una tabla y obtener todos los vaores verdaderos.
1.5.2 INFERENCIAS VALIDAS
1.5.3 CLASES DE EQUIVALENCIAS Y PARTICIONES
se le llama la clase de equivalencia asociada al elemento a. Al elemento a se le llama representante de la clase.
Se llama orden al número de clases que genera una relación de equivalencia; si éste es finito, se dice que la relación es de orden finito. Finalmente, el conjunto de todas las clases de equivalencia se denomina conjunto cociente y se lo suele denotar con
Ai ≠ ∅ para todo i ∈ I.
Ai ∩ Aj = ∅, para todo i, j ∈ I, tales que i ≠ j.
1.6 FUNCIONES
que cumple con las siguientes dos condiciones:
Condición de existencia: Todos los elementos de X están relacionado con elementos de Y, es decir,
Condición de unicidad: Cada elemento de X esta relacionado con un único elemento de Y, es decir, si
o lo que es lo mismo,
Estas funciones también se conocen como exhaustivas o epiyectivas.
1.6.1 SUCESIONES Y NOTACIÒN
Por convención, se escribe un [en vez de u(n)], la imagen de n por la sucesión u, o sea el término número n+1 de la sucesión u (el primer término es habitualmente u0).
Existen esencialmente dos maneras de definir una sucesión: explícitamente o implícitamente.
También asociado a una sucesión está el concepto de convergencia.
Aquí tenemos tres muestras de diferentes notaciones matemáticas especiales, que normalmente los editores de fórmulas no pueden generar, y que con TEX es posible siempre que se escriba el código correspondiente. Las notaciones mostradas no se pueden crear directamente con el TEX, estándar, pero sus capacidades de programación permiten extenderlo, y eso es justamente lo que he hecho para estos ejemplos.
No sólo es posible la extensión, sino que además cada aparición en el texto de estas notaciones ya se crea directamente a partir de una orden y por tanto la uniformidad tipográfica está garantizada. Más aun, si en un momento dado fuera necesario corregir en algo estas notaciones, se cambiaria de forma inmediata y globalmente en todo el documento: eso implica, además de la uniformidad total, rapidez y economía en el proceso de composición de un libro.
El primer ejemplo es la notación de intervalos ideada por William Feller y que aparece en sus libros de probabilidad. Una línea abarca el límite inferior y el superior, y un pequeño trazo indica que es cerrado por ese lado (la ausencia indica que es abierto).
Como segundo ejemplo, tenemos la representación de número complejos en forma de módulo-argumento (una de la diferentes posibilidades notacionales de esta representación), y que por limitaciones tipográficas no es raro ver así:
Sin embargo, eso es un intento de emular la notación correcta:
Para finalizar, supongamos que queremos introducir una notación para representar el conjunto de las raíces cuadradas de un número (es decir, tanto la negativa como la positiva). Una posible notación es:
Naturalmente, las posibilidades no se limitan a estos ejemplos. Si necesita una notación especial, ya puede conseguirla.
1.6.2 INDUCCIÒN MATEMÀTICA
El esquema del razonamiento es el siguiente: Llamemos Pn la proposición al rango n.
Se demuestra que P0 es cierta (iniciación de la inducción).
Se demuestra que si se asume Pn como cierta, entonces Pn+1 lo es también, y esto sin condición sobre el entero natural n. (relación de inducción).
Luego, demostrado esto, concluímos por inducción, que Pn es cierto para todo natural n.
La inducción puede empezar por otro término que P0, digamos por Pno. Entonces Pn será válido a partir del rango no, es decir, para todo natural n ≥ no.
1.6.3 CUANTIFICADORES
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Nombre
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Notación
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Se lee
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cuantificador universal
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Para todo x...
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cuantificador existencial
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Existe por lo menos un x...
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. (1)
La proposición (1) suele usarse como la equivalente de
. (2)
La proposición (2) suele interpretarse como la equivalente de la proposición
Se definen:
1.6.4 AXIOMAS
Deducción. La deducción lógico matemática consiste en lo siguiente: A partir de una serie de fórmulas admitidas como ciertas, y denominadas axiomas, hipótesis o premisas, se obtiene otra fórmula llamada conclusión o tesis, mediante la aplicación de reglas lógicas precisas. El proceso mediante el cual se pasa de las hipótesis (premisas) a la tesis, recibe el nombre de demostración.
Un teorema es una fórmula que figura dentro de una demostración. Es decir, un teorema es una fórmula que es o bien un axioma, o bien, una consecuencia de éste.
Una fórmula se dice que es falsa si su negación es un teorema.
Una teoría es contradictoria cuando se tiene una fórmula R que es verdadera y falsa a la vez. Esto es: R y Ø R son teoremas de la teoría.
Para demostrar que una fórmula C es un teorema se desarrolla el siguiente proceso:
Se enuncian los axiomas de la teoría. Para la lógica proposicional se establecen cuatro axiomas (A) que son :
A1. Axioma de idempotencia. Sea P una fórmula, entonces, la fórmula:
P Ú P Þ P
es un axioma
A2. Axioma de adjunción. Sean P Y Q fórmulas, entonces, la fórmula:
P Þ P Ú Q
es un axioma.
A3. Axioma de conmutatividad. Sean P, Q y R fórmulas, entonces, la fórmula:
P Ú Q Þ Q Ú P
es un axioma.
A4. Axioma de adición. Sean P , Q y R fórmulas, entonces, la fórmula:
(P Þ Q) Þ (R Ú P Þ R Ú Q)
es un axioma.
Se fijan las "reglas lógicas" que permiten deducir dicha fórmula a partir de los axiomas. Estas reglas son llamadas reglas de validez (RV) y son las siguientes:
RV1: Dadas las fórmulas R y S; si R Þ S y R son verdaderas, entecos S es verdadera.
RV2: Si R y S son fórmulas equivalentes, se puede sustituirla una por la otra en cualquier parte del proceso demostrativo.
Se hace una demostración de la fórmula C, que consiste en obtener a C como última fórmula de la lista, por aplicación reiterada de RV1 y RV2.
Las declaraciones cuantificadas se escriben en la forma que se leen "para todo x, es verdad que p" y "existe por lo menos un y tal que q es verdad".
