UNIDAD IV. ALGEBRA BOOLEANA
4.1 LÁTISES
Definición. Una látice o red es un conjunto parcialmente ordenado por una relación de orden, en el cual cada subconjunto {a, b} de este, que consta de dos elementos, tiene una mínima cota superior y una máxima cota inferior.
Se escribirá la mínima cota superior del conjunto {a,b} como m.c.s({a, b}) y se denotará por "a + b". SimiIarmente se escribirá la máxima cota inferior del conjunto {a, b} como M.C.I({a, b}) y se denotará por "a. b".
Ejemplos:
Sea S un conjunto no vacío y sea L = P(S). Se sabe que la operación "Í " define una relación de orden parcial en P(S). Acá se cumple que A + B (m.c.m({A, B})) es la unión de A y B y A B (M.C.I({A, B})) es la intersección de A y B.
Se concluye entonces que P(S) con el orden parcial definido por la relación "Í " es una látice.
Sea nun entero positivo y sea Dn el conjunto de todos los divisores positivos de n. Entonces el conjunto Dn ordenado por la relación de divisibilidad es una látice.
Así, si n = 20 entonces D20 = {1, 2, 4, 5, 10, 20} y se cumple que para cualesquiera a, b Î D20:
a + b = m.c.s({a, b}) es el mínimo común múltiplo de a y b.
a.b = M.C.I({a, b}) es el máximo común divisor de a y b.
El diagrama de Hasse de D20 ilustra claramente esta situación.
4.1.1 ARITMÉTICA SIMPLE
4.1.2 REPRENTACIÓN DE NÚMEROS CON SIGNO DE
BASE 2
4.2 LÁTISES DISTRIBUIDOS Y BOOLEANAS.
4.3 ÁLGEBRA BOOLEANA
El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero). Un operador binario " º " definido en éste juego de valores acepta un par de entradas y produce un solo valor booleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana.
Es posible probar todos los teoremas del álgebra booleana utilizando éstos postulados, además es buena idea familiarizarse con algunos de los teoremas más importantes de los cuales podemos mencionar los siguientes:
Teorema 1: A + A = A
Teorema 2: A · A = A
Teorema 3: A + 0 = A
Teorema 4: A · 1 = A
Teorema 5: A · 0 = 0
Teorema 6: A + 1 = 1
Teorema 7: (A + B)' = A' · B'
Teorema 8: (A · B)' = A' + B'
Teorema 9: A + A · B = A
Teorema 10: A · (A + B) = A
Teorema 11: A + A'B = A + B
Teorema 12: A' · (A + B') = A'B'
Teorema 13: AB + AB' = A
Teorema 14: (A' + B') · (A' + B) = A'
Teorema 15: A + A' = 1
Teorema 16: A · A' = 0
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A
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B
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A+B
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A.B
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0
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0
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0
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0
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0
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1
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1
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0
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1
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0
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1
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0
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1
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1
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1
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1
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4.4 EXPRESIONES BOOLEANAS.
4.4.1 REPRESENTACIÓN Y MINIMIZACIÓN DE
FUNCIONES BOOLEANAS.
4.5 REDES LÓGICAS
4.6 FUNCIONES DE KARNAUGH
Los mapas K aprovechan la capacidad del cerebro humano de trabajar mejor con patrones que con ecuaciones y otras formas de expresión analítica. Externarmente, un mapa de Karnaugh consiste de una serie de cuadrados, cada uno de los cuales representa una línea de la tabla de verdad. Puesto que la tabla de verdad de una función de N variables posee 2N filas, el mapa K correspondiente debe poseer también 2N cuadrados. Cada cuadrado alberga un 0 ó un 1, dependiendo del valor que toma la función en cada fila. Las tablas de Karnaugh se pueden utilizar para funciones de hasta 6 variables
Los lazos van a ser horizontales y verticales; los diagonales no están permitidos.
En un lazo las variables que cambien se deben eliminar. Las variables que no cambien se deben representar en dicho lazo.
Hacer la menor cantidad de lazos o grupos con la mayor cantidad de maxterms y minterms.
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